什么数不是有理数

有理数是指可以表示为两个整数的比例的数，即它们可以写成p/q的形式，其中p和q是整数，且q不等于0。然而，仍然存在一些数不是有理数，这些数被称为无理数。无理数是无限位的小数，不能用两个整数的比例来表示。

常见的无理数包括开方、圆周率π和自然对数的底数e等。其中，最著名的无理数是根号2，它不能用两个整数的比例来表示。如果我们将根号2写成小数，它将是一个无限不循环的小数，即不能写成有限个数的小数位数。

为了证明根号2是无理数，我们可以采用反证法。假设根号2是有理数，即可以写成p/q的形式，其中p和q是整数，并且p/q已经化简至最简形式。那么，我们可以得到以下等式：(p/q)^2 = 2。通过平方等式，我们可以得到p^2 = 2q^2。这意味着p^2是2的倍数，因此p本身也必须是2的倍数。因此，假设p是2的倍数，我们可以将p写成2k的形式，其中k是整数。那么，平方等式就变成了(2k)^2 = 2q^2，即4k^2 = 2q^2，化简得2k^2 = q^2。同样的逻辑可以应用于q，得出q也是2的倍数。

然而，这与我们最初的假设矛盾，即p和q已经化简至最简形式。因此，我们得出结论：根号2不能用两个整数的比例来表示，是一个无理数。

除根号2之外，还有很多其他的无理数。无理数的无限小数位数使它们成为数学上的重要概念。无理数的发现实际上是对有理数集合不完善的一种补充。无理数丰富了我们对数的认识，扩展了数学的领域。它们在数论、几何、物理学等领域中都有着重要的应用。